谈谈反证法在教学中的应用
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一. 引言
有个很著名的“道旁苦李”的故事:从前有个名叫王戎的小孩,一天,他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子,小朋友一哄而上,去摘,尝了之后才知是苦的,独有王戎没动,王戎说:“假如李子不苦的话,早被路人摘光了,而这树上却结满了李子,所以李子一定是苦的。”这个故事中王戎用了一种特殊的方法,从反面论述了李子为什么不甜,不好吃。这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。
二. 反证法的定义、逻辑依据、种类及模式
定义:反证法是从反面的角度思考问题的证明方法,属于“间接证明”的一类,即肯定题设而否定结论,从而导出矛盾,推理而得。
种类:运用反证法的关键在于归谬,因此反证法又称为归谬法。根据结论B的反面情况不同,分为简单归谬法和穷举归谬法。
模式:设待证的命题为“若A则B”,其中A是题设,B是结论,A、B本身也都是数学判断,那么用反证法证明命题一般有三个步骤:
反设:作出与求证结论相反的假设;
归谬:将反设作为条件,并由此通过一系列的正确推理导出矛盾;
结论:说明反设不成立,从而肯定原命题成立。
三. 反证法的适用范围
1.否定性命题
即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题,直接证法一般不易入手,而反证法有希望成功。
例 求证:在一个三角形中,不能有两个角是钝角。已知:∠A,∠B,∠C是三角形ABC的三个内角。求证:∠A,∠B,∠C中不能有两个钝角。
证明:假如∠A,∠B,∠C中有两个钝角,不妨设∠A>900,且∠B>900,则∠A+∠B+∠C>1800。这与“三角形内角和为1800”这一定理相矛盾。 故 ∠A,∠B均大于900不成立。所以,一个三角形不可能有两个钝角。
2.限定式命题
即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题。
例 在半径为 的圆中,有半径等于1的九个圆,证明:至少有两个小圆的公共部分的面积不小于 。
证明:每个小圆的公共部分的面积都小于 ,而九个小圆共有 个公共部分,九个小圆的公共部分面积要小于 ,又大圆面积为 ,则九个小圆应占面积要大于 ,这是不可能的,故至少有两个小圆的公共部分面积不少于 。
例 已知方程 , , 中至少有一个方程有实数值,求实数 的取值范围。
分析:此题直接分情况用判别式求解就特别麻烦,可用反证法,假设三个方程都无实数根,然后求满足条件 的集合的补集即可。
证明:假设三个方程都无实根,则有:
解得
例 已知m,n,p都是正整数,求证:在三个数中,至多有一个数不小于1.
证 假设a,b,c中至少有两个数不小于1,不妨设a≥1,b≥1,则m≥n+p,n≥p+m.
两式相加,得2p≤0,从而p≤0,与p是正整数矛盾.
所以命题成立.
说明 “不妨设”是为了简化叙述,表示若有b≥1,c≥1和a≥1等其他各种情况时,证明过程是同样的.
∴所求 的'范围为 .
3.无穷性命题
即涉及各种“无限”结论的命题。
例 求证: 是无理数。
分析:由于题目给我们可供便用的条件实在太少,以至于正面向前进一小步都非常困难。而无理数又是无限不循环的,“无限”与“不循环”都很难表示出来。当反设 是有理数时,就增加了一个具体而有效的“条件”,使得能方便地将 表示为一个分数。
证明:假设 是有理数,则存在 互质,使 ,从而, 为偶数,记为 ,∴ ,∴ ,则 也是偶数。由 , 均为偶数与 、 互质矛盾,故 是无理数。
例 求证:素数有无穷多个。
证明:假设素数只有n个: P1、P2……Pn,取整数N=P1?P2……Pn+1,显然N不能被这几个数中的任何一个整除。因此,或者N本身就是素数(显然N不等于“P1、P2、……Pn中任何一个),或者N含有除这n个素数以外的素数r,这些都与素数只有n个的假定相矛盾,故素数个数不可能是有限的,即为无限的。
四. 运用反证法应注意的问题
有个很著名的“道旁苦李”的故事:从前有个名叫王戎的小孩,一天,他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子,小朋友一哄而上,去摘,尝了之后才知是苦的,独有王戎没动,王戎说:“假如李子不苦的话,早被路人摘光了,而这树上却结满了李子,所以李子一定是苦的。”这个故事中王戎用了一种特殊的方法,从反面论述了李子为什么不甜,不好吃。这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。
二. 反证法的定义、逻辑依据、种类及模式
定义:反证法是从反面的角度思考问题的证明方法,属于“间接证明”的一类,即肯定题设而否定结论,从而导出矛盾,推理而得。
种类:运用反证法的关键在于归谬,因此反证法又称为归谬法。根据结论B的反面情况不同,分为简单归谬法和穷举归谬法。
模式:设待证的命题为“若A则B”,其中A是题设,B是结论,A、B本身也都是数学判断,那么用反证法证明命题一般有三个步骤:
反设:作出与求证结论相反的假设;
归谬:将反设作为条件,并由此通过一系列的正确推理导出矛盾;
结论:说明反设不成立,从而肯定原命题成立。
三. 反证法的适用范围
1.否定性命题
即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题,直接证法一般不易入手,而反证法有希望成功。
例 求证:在一个三角形中,不能有两个角是钝角。已知:∠A,∠B,∠C是三角形ABC的三个内角。求证:∠A,∠B,∠C中不能有两个钝角。
证明:假如∠A,∠B,∠C中有两个钝角,不妨设∠A>900,且∠B>900,则∠A+∠B+∠C>1800。这与“三角形内角和为1800”这一定理相矛盾。 故 ∠A,∠B均大于900不成立。所以,一个三角形不可能有两个钝角。
2.限定式命题
即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题。
例 在半径为 的圆中,有半径等于1的九个圆,证明:至少有两个小圆的公共部分的面积不小于 。
证明:每个小圆的公共部分的面积都小于 ,而九个小圆共有 个公共部分,九个小圆的公共部分面积要小于 ,又大圆面积为 ,则九个小圆应占面积要大于 ,这是不可能的,故至少有两个小圆的公共部分面积不少于 。
例 已知方程 , , 中至少有一个方程有实数值,求实数 的取值范围。
分析:此题直接分情况用判别式求解就特别麻烦,可用反证法,假设三个方程都无实数根,然后求满足条件 的集合的补集即可。
证明:假设三个方程都无实根,则有:
解得
例 已知m,n,p都是正整数,求证:在三个数中,至多有一个数不小于1.
证 假设a,b,c中至少有两个数不小于1,不妨设a≥1,b≥1,则m≥n+p,n≥p+m.
两式相加,得2p≤0,从而p≤0,与p是正整数矛盾.
所以命题成立.
说明 “不妨设”是为了简化叙述,表示若有b≥1,c≥1和a≥1等其他各种情况时,证明过程是同样的.
∴所求 的'范围为 .
3.无穷性命题
即涉及各种“无限”结论的命题。
例 求证: 是无理数。
分析:由于题目给我们可供便用的条件实在太少,以至于正面向前进一小步都非常困难。而无理数又是无限不循环的,“无限”与“不循环”都很难表示出来。当反设 是有理数时,就增加了一个具体而有效的“条件”,使得能方便地将 表示为一个分数。
证明:假设 是有理数,则存在 互质,使 ,从而, 为偶数,记为 ,∴ ,∴ ,则 也是偶数。由 , 均为偶数与 、 互质矛盾,故 是无理数。
例 求证:素数有无穷多个。
证明:假设素数只有n个: P1、P2……Pn,取整数N=P1?P2……Pn+1,显然N不能被这几个数中的任何一个整除。因此,或者N本身就是素数(显然N不等于“P1、P2、……Pn中任何一个),或者N含有除这n个素数以外的素数r,这些都与素数只有n个的假定相矛盾,故素数个数不可能是有限的,即为无限的。
四. 运用反证法应注意的问题
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