椭圆知识点总结
椭圆是数学中的一个常考点,相关的知识点其实并不是十分的多。下面是小编推荐给大家的椭圆知识点总结,希望能带给大家帮助。
椭圆知识点总结
1.椭圆的概念
在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆.这两定点叫做椭圆的'焦点,两焦点间的距离叫做焦距.
集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:
(1)若a>c,则集合P为椭圆;
(2)若a=c,则集合P为线段;
(3)若a
2.椭圆的标准方程和几何性质
一条规律
椭圆焦点位置与x2,y2系数间的关系:
两种方法
(1)定义法:根据椭圆定义,确定a2、b2的值,再结合焦点位置,直接写出椭圆方程.
(2)待定系数法:根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上,设出相应形式的标准方程,然后根据条件确定关于a、b、c的方程组,解出a2、b2,从而写出椭圆的标准方程.
三种技巧
(1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中,长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离,且最大距离为a+c,最小距离为a-c.
(2)求椭圆离心率e时,只要求出a,b,c的一个齐次方程,再结合b2=a2-c2就可求得e(0
(3)求椭圆方程时,常用待定系数法,但首先要判断是否为标准方程,判断的依据是:①中心是否在原点;②对称轴是否为坐标轴.
椭圆方程的第一定义:
⑴①椭圆的标准方程:
i. 中心在原点,焦点在x轴上:. ii. 中心在原点,焦点在轴上:.
②一般方程:.③椭圆的标准参数方程:的参数方程为(一象限应是属于
).
⑵①顶点:或.②轴:对称轴:x轴,轴;长轴长,短轴长.③焦点:或.④焦距:.⑤准线:或.⑥离心率:.⑦焦点半径:
i. 设为椭圆上的一点,为左、右焦点,则
由椭圆方程的第二定义可以推出.
ii.设为椭圆上的一点,为上、下焦点,则
由椭圆方程的第二定义可以推出.
由椭圆第二定义可知:归结起来为“左加右减”.
注意:椭圆参数方程的推导:得方程的轨迹为椭圆.
⑧通径:垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标:和
⑶共离心率的椭圆系的方程:椭圆的离心率是,方程是大于0的参数,的离心率也是 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.
(4)若P是椭圆:上的点.为焦点,若,则的面积为(用余弦定理与可得). 若是双曲线,则面积为.
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